계량텐서(metric tensor)

계량텐서는 비직교좌표계를 포함한 일반좌표계에서 곡선의 길이를 재기 위해 만든 거리함수의 셋트라고 생각하는게 제일 인식하기 편한 것 같습니다.

 

말이야 "일그러진 시공간에서의 거리를 구하기 위한 함수다!"라고 하는데, 너무 말이 무거우니까 고등학교나 기초미적분학시간에서 배우는 개념에서부터 이를 유도해보고자 합니다.

 

우선 기초미적분학에서 나오는 곡선길이의 측정을 논해보죠. 

어떤 위치벡터$\boldsymbol{r}$이 있다고 했을때, 이 위치벡터가 가리키는 점의 위치를 매개변수$t$로 표현하고, $x$,$y$축 좌표를 각각 $x(t)$,$y(t)$라고 놓았습니다. 이때 매개변수 $t$가 $[t_i,t_f]$에서 정의될 때, 이 곡선의 길이는

$$s=\int_{t_i}^{t_f}\sqrt{(x^{'}(t))^2+(y^{'}(t))^2}dt$$

라고 구했습니다. 고등학생 시절에 좀 더 심플하게 만들기로는 $x=t$로 보고 $x^{'}(t)=1$로 놓기도 했었지요.

그런데 이 식을 벡터미적분학을 배우면서 의미를 더 깊게 생각해보면 "$r$의 변화량을 누적시키면 거리의 변화량이다!"라는 생각에 도달하게 됩니다.

$$s=\int_{t_i}^{t_f}\sqrt{             \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\bullet\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}                 }dt$$

이제, 이 좌표계를 일반좌표계$U(u^1,...,u^n)$이라고 정의하며, $i$방향 공변기저벡터를 $\bar{a}_{i}$라고 표현하겠습니다. 또한, $\boldsymbol{u}$의 $i$방향 성분을 $u^{i}$라고 하겠습니다. 공변기저벡터가 무슨 말인지 처음보시는 분은, 그냥 "기저"라고 생각하셔도 됩니다. 이제 위 식은 이렇게 바꿔표현할 수 있습니다.

 

$$s=\int_{t_i}^{t_f}\sqrt{            \left(  \sum_{i}^{}\frac{d u^i}{d t}\bar{a}_{i} \right) \bullet \left(  \sum_{i}^{}\frac{d u^j}{d t}\bar{a}_{i} \right)                 }dt$$

 

$1/dt$는 두번 곱해지니까 스퀘어루트 밖으로 나오니 지울 수 있습니다. 그 다음을전개해보지요.

 

$$s=\int_{t_i}^{t_f}\sqrt{            \bar{a}_{1}{\bullet}\bar{a}_{1}du^1du^1 + 2\bar{a}_{1}{\bullet}\bar{a}_{2}du^1du^2  +...+2\bar{a}_{n-1}{\bullet}\bar{a}_{n}du^{n-1}du^{n} +  \bar{a}_{n}{\bullet}\bar{a}_{n}du^ndu^n        }$$

식이 좀 복잡해보이긴 하지만, 직교좌표계에선 두 축이 서로 다를경우 기저벡터가 직교하기때문에 내적값은 0이 되므로 생략됩니다. 그래서 기초미적분학에서 나오는 곡선길이 공식이 성립하구요. 참 편하지요.

식이 너무 기니까 아인슈타인 축약기재법을 씁시다.

아인슈타인 축약기재법이 무엇인지 모르시는 분들도 아래 식을 보고 아~이렇게 정리했구나 하고 느낌적인 느낌으로 이해하셔도 됩니다.

 

$$s=\int_{t_i}^{t_f}\sqrt{            \bar{a}_{i}{\bullet}\bar{a}_{j}du^idu^j}$$

 

이쯤에서 새로운 정의를 적어주겠습니다. 우선 $\bar{a}_{i}{\bullet}\bar{a}_{j} = g_{ij}$라고 놓습니다. 여기서 $g_{ij}$를 이제부터 "계량텐서"라고 부릅니다. $g_{ij}$의 표기는 행렬이 되며, $i$,$j$에 대해 각 행과 열의 성분들은 공변기저벡터들의 내적값이 되겠네요. 또한 , $du^idu^j$도 좌표계가 일단 정해지면 변하지 않을 터이니 계량텐서와 묶어서 이렇게 정의해줍니다.

$$(ds)^2 = g_{ij}du^{i}du^{j}$$

이제 $ds$를 선미분소(line element)가 됩니다.

윗 식을 다시 정리해주면

$$s=\int_{t_i}^{t_f}\sqrt{      ds^2     }$$

가 됩니다.

 

 

그러면 이걸 어떻게 써먹는데? 하는 의문이 생기니까 예시를 한번 적어보겠습니다.

 

직교좌표계에서 극좌표계로의 좌표변환을 생각해봅시다.

$x =rcos\theta$,$y =rsin\theta$관계니까, 이때의 공변기저벡터의 정의로부터 $r$방향, $\theta$방향의 공변기저벡터는 각각 $\vec{e}_r =\frac{\partial x}{\partial r}\vec{e}_x + \frac{\partial y}{\partial r}\vec{e}_y =cos\theta\vec{e}_x +sin\theta\vec{e}_y$, $\vec{e}_\theta =\frac{\partial x}{\partial \theta}\vec{e}_x + \frac{\partial y}{\partial \theta}\vec{e}_y =-rsin\theta\vec{e}_x +rcos\theta\vec{e}_y$가 되며, 이들을 다이애드곱해서 행렬을 만들면 계량텐서가 됩니다.

$$g=\begin{bmatrix}
e_r\bullet{}e_r & e_r\bullet{}e_{\theta} \\
e_{\theta}\bullet{}e_r & e_{\theta}\bullet{}e_{\theta}
\end{bmatrix}$$

$r$방향, $\theta$방향의 공변기저벡터를 내적을 할건데, 식이 지저분해질 것 같지만 다행스럽게도 직교좌표계의 서로 다른 두 축의 벡터의 내적은 0이 되므로(크로네커델타) 같은 방향 성분만 생각해주면 됩니다.

$$g=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & r^2
\end{bmatrix}$$

 

예시문제로 $r=1+sin\theta$에서 $\theta$가 $\left[ 0,2\pi \right]$구간에서 정의될때 이 곡선의 길이를 구해보도록 하지요. 출처는 https://everyday-image-processing.tistory.com/273 여기입니다.

우선 편의상 $t =\theta$ 라고 놓겠습니다. 극좌표계의 계량텐서는 이미 구해놓았으니, $\frac{dr^{i}}{dt}\frac{dr^{j}}{dt}$를 구해줍니다. $t =\theta$니까 $\frac{d\theta}{dt}$는 당연히 1이 되고, $\frac{dr_{}}{dt}=-cos\theta{}\frac{d\theta}{dt} =-cos\theta{}$가 됩니다. 이들을 다이애드곱으로 만들어서 늘어놓으면 대략

$$\begin{bmatrix}
cos^{2}\theta{} & -cos\theta{} \\
-cos\theta{} & 1
\end{bmatrix}$$

가 됩니다.

이걸 아까 구한 선미분소에 대입해줍니다. 유의할 점은, 텐서의 표기가 그냥 행렬과 유사할 뿐이지, 진짜로 행렬곱을 해서는 안됩니다. 인덱스가 같은것끼리 곱해주고 쭉 늘어놓기만 하면 됩니다

$$s=\int_{t_i}^{t_f}\sqrt{            g_{ij}\frac{dr^{i}}{dt}\frac{dr^{j}}{dt}​}dt =\int_{t_i}^{t_f}\sqrt{            \left( -cos\theta{} \right)^2\bullet{}1 + 1^2\bullet{r^2}}dt  $$

가 되고 $t =\theta$였으니까 $t$, $\theta$를 통일시켜주고, 계량텐서의 $r^2$를 $(1+sin\theta)^2$로바꿔적어줍니다.

$$s=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{           cos^2\theta + 1+2sin\theta+sin^2\theta }d\theta = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{           
2+2sin\theta }d\theta$$

 

적분하고자 하는 글자가 $\theta$로 통일됐으니까, 나머지는 출처에 적힌대로 풀기만 하면 됩니다.

 

 

 

사실 좌표계가 바뀌었을때 적분을 하는 것은 대부분의 대학교에서는 매개변수 치환하고 적분인자에 어떤 변수를 곱해줘라- 라고만 가르칩니다. 그게 왜 그런지는 가르쳐 주지 않고요. $ds$를 알려면 계량텐서인 $g_ij$를 알아야 하고, 이걸 알려면 선형대수학과 좌표변환을 알아야하는데, 이렇게 하는 거보단 그냥 간단히 암기를 하는게 낫지 않나... 하는 생각도 좀 듭니다.

 

 

참고자료:

위키피디아 - Metric tensor

https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor

Metric tensor - Wikipedia

위키피디아 - 선미분소

https://en.wikipedia.org/wiki/Line_element

Line element - Wikipedia

전파거북이님 블로그 - 텐서와 좌표변환

https://ghebook.blogspot.com/2011/06/tensor-coordinate-transformation.html

텐서(Tensor)와 좌표 변환(Coordinate Transformation)